sábado, 5 de diciembre de 2015

FRACTALES EN LA NATURALEZA

¿Siguen las formas de la naturaleza  algún comportamiento o patrón¿Qué entendemos por caos?

Estas son algunas de las cuestiones que se nos plantea cuando queremos representar algunas de las formas aparentemente caóticas o irregulares de la naturaleza.


                                            


                                                                                                          Figura 1              





Podemos pensar que objetos de la naturaleza como las raíces de un árbol, las grietas de suelos y paredes, el movimiento de las olas,  cómo se forma un copo de nieve…son formas aleatorias, caóticas.
La  naturaleza no sigue un patrón fijo, según el origen y las circunstancias en las que se origine un proceso, el resultado final puede ser completamente diferente en una situación similar. Por ejemplo; centrándonos en la formación del copo de nieve. Una gota de agua se congela, formándose así el núcleo del copo; sobre una parte del mismo, vuelve a caer otra gota y se congela; y así sucesivamente, hasta que se forma el copo. Imaginemos que la gota que cae sobre el núcleo del copo cae en otra zona diferente a la anterior, esto provoca que la geometría de este copo sea completamente diferente a la del copo anterior. Así pues, en un mismo objeto, cambiando la situación inicial provoca un cambio en la situación final.


                                                                                                        Figura 2

Este es un ejemplo del  comportamiento caótico que puede seguir la naturaleza.

La Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que trata ciertos tipos de sistemas complejos y dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo.


¿Qué relación tiene los fractales con el caos?

Los fractales abren la puerta a numerosas conjeturas sobre la complejidad del mundo. 

Caos no es sinónimo de fractal, aunque a veces se hable de los temas conjuntamente. La geometría fractal suele considerarse como la geometría que describe los sistemas caóticos que encontramos en la naturaleza. Son un lenguaje, una manera de describir una geometría.

La palabra caos ha estado tradicionalmente asociada a los conceptos de confusión y desorden. Pero nos equivocamos.
Los sistemas caóticos no son aleatorios, ni desordenados, ¡solo lo parecen! Detrás de su comportamiento aparentemente aleatorio hay un sentido de orden y patrones. Este tipo de patrones se denominan patrones fractales. 

Un fractal es un objeto en el que se presenta una auto-similitud al observarla en diferentes escalas o detalles. Es decir, si observamos primero el objeto en su totalidad y después tomamos una porción y la observamos con un lente de aumento, veremos que esa misma figura se repite en su interior, si ahora utilizamos un microscopio veremos que el patrón de figuras se sigue repitiendo y así sucesivamente.
 El nombre de fractal se lo debemos a Mandelbrot, y significa “fracturar” y de hecho esto es lo que se hace en un fractal: realizar múltiples “fracciones” de una figura cada vez más pequeña. 

Una magnitud muy importante que nos describe gran parte de la naturaleza, geometría que componen el fractal se trata de su dimensión, que podemos calcular de la siguiente manera:



D_{MB} = -\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log\frac{1}{\varepsilon}},

donde N(\varepsilon) es el número de estructuras auto-similares de lado lineal ε que se necesitan para cubrir toda la estructura.

La dimensión del fractal nos da una idea de la densidad de patrones que aparecen en la geometría fractal de manera que si en un caso tenemos un número decimal más alto que en otro, en este primer caso tenemos una cantidad de patrones por unidad de volumen o superficie mayor que en el segundo caso.

Un ejemplo claro de patrón fractal lo podemos observar en las venas de las hojas de una planta (3) o en el brócoli romanesco (4).

         
                                                                            Figura (3)                                          Figura (4)



Podemos concluir que aun existiendo sucesos caóticos en los cuales pequeñas variaciones en la condiciones iniciales pueden suponer un cambio drástico en el resultado final, aun podemos encontrar patrones en su geometría que nos ayuden a simular su estado por medio de la geometría fractal.




Referencias.

- Documentos:






- Imágenes:

Figura 1.



Figura 2.



Figura 3.



Figura 4.




                                                                                   

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